Ánh xạ hợp của các ánh xạ tuyến tính cũng là ánh xạ tuyến tính: nếu các ánh xạ f: V → W và g: W → Z là tuyến tính, thì ánh xạ hợp g ∘ f : V → Z {\textstyle g\circ f:V\rightarrow Z} cũng vậy. Từ đây suy ra rằng lớp các không gian vectơ trên một trường cho trước K, cùng với các K-ánh xạ tuyến tính là các cấu xạ, tạo thành một phạm trù.

Ánh xạ ngược của một ánh xạ tuyến tính nếu tồn tại cũng là tuyến tính.

Nếu f 1 : V → W {\textstyle f_{1}:V\rightarrow W} và f 2 : V → W {\textstyle f_{2}:V\rightarrow W} là tuyến tính, thì hàm tổng của chúng f 1 + f 2 {\displaystyle f_{1}+f_{2}} cũng tuyến tính, được định nghĩa là ( f 1 + f 2 ) ( x ) = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) {\displaystyle (f_{1}+f_{2})(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)} .

Nếu f : V → W {\textstyle f:V\rightarrow W} là tuyến tính và α {\textstyle \alpha } là một phần tử của trường bên dưới K {\textstyle K} , thì ánh xạ α f {\textstyle \alpha f} , định nghĩa bởi ( α f ) ( x ) = α ( f ( x ) ) {\textstyle (\alpha f)(x)=\alpha (f(x))} cũng là tuyến tính.

Vì thế tập hợp L ( V , W ) {\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)} gồm các ánh xạ tuyến tính từ V {\textstyle V} vào W {\textstyle W} cũng là một không gian vectơ trên trường K {\textstyle K} ,[10] đôi khi ký hiệu là Hom ⁡ ( V , W ) {\textstyle \operatorname {Hom} (V,W)} .[11] Hơn nữa, trong trường hợp V = W {\textstyle V=W} thì không gian này, ký hiệu End ⁡ ( V ) {\textstyle \operatorname {End} (V)} , là một đại số kết hợp dưới phép hợp ánh xạ, vì hợp của hai ánh xạ tuyến tính cũng là một ánh xạ tuyến tính, và phép hợp ánh xạ có tính kết hợp. Trường hợp này được nói cụ thể hơn ở dưới.

Trong trường hợp hữu hạn chiều, nếu các cơ sở đã được chọn trước thì phép hợp các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận, phép cộng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép cộng ma trận, và phép nhân vô hướng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận với vô hướng.

Tự đồng cấu, tự đẳng cấu

Một biến đổi tuyến tính f : V → V {\textstyle f:V\rightarrow V} là một tự đồng cấu trên V {\textstyle V} ; tập hợp các tự đồng cấu End ⁡ ( V ) {\textstyle \operatorname {End} (V)} cùng với phép cộng, phép hợp và phép nhân vô hướng được định nghĩa như trên tạo thành một đại số kết hợp có đơn vị trên trường K {\textstyle K} (và cụ thể hơn là một vành). Phần tử đơn vị phép nhân của đại số này là ánh xạ đồng nhất id : V → V {\textstyle \operatorname {id} :V\rightarrow V} .

Một tự đồng cấu trên V {\textstyle V} mà đồng thời cũng là một đẳng cấu được gọi là một tự đẳng cấu trên V {\textstyle V} . Hợp của hai tự đẳng cấu cũng là một tự đẳng cấu, và tập hợp các tự đẳng cấu trên V {\textstyle V} tạo thành một nhóm gọi là nhóm các tự đẳng cấu trên V {\textstyle V} và được ký hiệu là Aut ⁡ ( V ) {\textstyle \operatorname {Aut} (V)} hay GL ⁡ ( V ) {\textstyle \operatorname {GL} (V)} . Vì các tự đẳng cấu cũng chính là các tự đồng cấu có ánh xạ ngược dưới phép hợp ánh xạ nên Aut ⁡ ( V ) {\textstyle \operatorname {Aut} (V)} là nhóm các đơn vị trên vành End ⁡ ( V ) {\textstyle \operatorname {End} (V)} .

Nếu V {\textstyle V} có số chiều hữu hạn n {\textstyle n} , thì End ⁡ ( V ) {\textstyle \operatorname {End} (V)} đẳng cấu với đại số kết hợp gồm các ma trận vuông n × n {\textstyle n\times n} với các phần tử trong K {\textstyle K} . Nhóm các tự đẳng cấu trên V {\textstyle V} đẳng cấu với nhóm tuyến tính tổng quát GL ⁡ ( n , K ) {\textstyle \operatorname {GL} (n,K)} gồm các ma trận khả nghịch n × n {\textstyle n\times n} với các phần tử trong K {\textstyle K} .